Как мотивировать аксиоматику колец?

Question

Когда речь идет о моноидах, то вроде понятно, что их аксиоматика мотивируется тем, что хотелось бы исследовать различные множества с бинарными ассоциативными операциями, отн-но которых эти множества замкнуты.
Когда речь идет о группах, то там вобще. если задуматься о симметриях в самом абстрактном виде, то сразу приходим к аксиоматике групп естественнымм путем.
А как естественным путем прийти к аксиоматике колец? Вроде понятно, что хотелось бы изучать множества с двумя операциями, но почему именно с такими аксиомами? Неужто так много важных или интерсных множеств с такой структурой? Вроде бы везде сплошные поля.
Ну и да, почему кольца называются кольцами? )

Answer 1

честно я пришел к понимаю колец через моделирвоание полей.
например в молекулярной динамике когда частица прилетает в стенку то е не отражают, а без ограничения общности просто телепортируют в противоположную стенку чтобы она продолжала лететь прямо но все время оставалась в этом квадратике.
таким образом кольца могут поделировать бесконечные пространства.

Answer 2

История названия есть в английской Вике.

Кольца (по крайней мере, коммутативные с единицей) вылезают, вроде, сами как алгебраические структуры, объединяющие свойства целых чисел и многочленов, да и из мсдульной арифметики они вовсю лезут, Zn - кольцо, но при составном n полем не является.

К тому ж, если вы какую-нибудь группу или полугруппу захотите изучить средствами линейной алгебры, вы, вероятно, достроите е до алгебры над полем, вложив в линейное пространство. Кольцо - это недоалгебра, в ней операции умножения на скаляр не хватает. Ну и и-за этого, например, матрицы n x n с целочисленными элементами кольцо образуют, а алгебру над полем - ни фига. И, кстати, некоммутативное кольцо.