Где здесь у математиков ошибка , ведь по определению боковые площади поверхностей при H=R должны быть равны !

Answer 1

Отвечаю в надежде, что автор действительно хочет разобраться в вопросе, хотя эта надежда весьма слаба. Ибо начинать со слов где у математиков ошибка и кончать чушь в учебниках даёт на это основание.
Теперь по существу. Автор слышал звон, да не знает где он. При Н= R действительно равны площади СФЕРИЧЕСКОГО СЕКТОРА и СФЕРИЧЕСКОГО СЕМЕНТА: они совпадают и равны половине площади полной сферы. Но БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА, о чём речь в вопросе, это - КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, и в определённом смысле сравнивать её со сферической (шарoвой) поверхностью не имет смысла (прошу извинений за повтор) .

Answer 2

Ошибка не у математиков, ошибка в современных учебниках. Учебники сейчас пишет кто попало и как попало - там точней написано. А что за формула для сектора на скриншоте я не понимаю (могла бы повыводить и найти ошибку, но сейчас почти сплю) Для сегмента верная формула для изогнутой части поверхности