Ирациональные и рациональные числа. Почему у ирациональных чисел нет цикла?

Question

Немного глупый вопрос, но мне интересно узнать на него ответ. Мы знаем, что любые ирациональные числа (дроби) бесконечные, но мы относим бесконечные дроби с периодом к рациональным числам. Так вот, я на 90% уверен в том, что в моём вопросе и рассуждениях есть ошибка, поэтому я буду благодарен, если мне на неё укажут. Каким образом математики доказали, что среди бесконечного количества знаков после запятой у ирациональных чисел нет ни единого цикла, который превратил бы число в дробь с огромным периодом

Answer 1

Пусть n - основание системы счисления, например, 10.
Тогда
0, (1) = 1/ (n - 1)
0, (01) = 1/ (n^2 - 1)
и т. д
Возьмем какую-нибудь периодич. n-ичную дробь,
напр, 1. 2 (384)
1. 2 (384) = 1, 2 + (384/n) / (n^3 - 1) , т. е. это рац. число.
Для других периодических дробей рассуждения аналогичны.

Answer 2

Не совсем понимаю вопрос. В каждом конкретном случае нужно выяснять отдельно, является ли число ирациональным или нет. Например, у числа 0, 101001000100001. (каждый раз число нулей увеличивается на единицу) точно не может быть периода. Но, конечно, бывают и разные сложные ситуации. Например, про константу Эйлера-Маскерони до сих пор неизвестно, является ли она рациональным или ирациональным числом