Кто сможет объяснить на чем основано деление столбиком?

Question

Почему правила которые при делении мы выполняем в итоге правильные. Почему деление начинается слева направо (выбираются разряды) и т. д?

Answer 1

на определении операции деления и на позиционной записи чисел. Вот если числа записать римскими цифрами, то будет большой облом, придется делить подбором или повторением вычитаний

Answer 2

1. Есть другие алгоритмы, они вам неизвестны, а жаль.
2. Умножение и деление в позиционной системе счисления собственно и зародили понятие алгоритм по части имени автора трактата трактата из Хорезма (аль-Хорезми) .
3. Деление столбиком чисто человеческий алгоритм, требует неформального действия (догадаться, какую очередную цыфру взять) . Основано на многократном вычитании подходящих чисел. Правила именно это и формализуют (частично) .
 В непозиционных системах представления чисел и правила другие, например,
Любое целое можно представить как произведение простых чисел в степенях, там деление сводится к нахождению пересечения множеств.
В представлении чисел в остаточных классах деление сводится к умножению.

Answer 3

Берем целое число A и делим его с остатком на целое число B. Получаем целое число C и остаток (тоже целое число) D. Иначе говоря,

A = BC + D

Теперь умножаем A на 10 (сдвиг на одну цифру влево) , или на 100 (сдвиг на две цифры влево) , или на любое другое число x:

xA = x (BC + D)

Раскрыавем скобки:

xA = B (xC) + xD

и получаем, что при сдвиге А на любое число цифр результаты деления с остатком тупо сдвигаются на то же самое число цифр. То есть если

35 / 11 = 3 (и 2 в остатке)

то

350 / 11 = 30 (и 20 в остатке)
3500 / 11 = 300 (и 200 в остатке)

И так дале. То есть можно начинать делить с высших разрядов, а потом разбираться с остатком от деления на них.

Причем, x не обязательно должен быть кратным 10, то есть трюк работоспособен в любой системе счисления.