Почему непрерывный отрезок можно измерить?

Answer 1

Возникла необходимость (практическая) сравнивать отрезки. Сравнивают с эталоном. Этот процесс назвали измерением. Возможно, с отрезком ещё чего-то можно делать, тогда это назовут как-то по другому.
То есть, вы переставили причину со следствием: с отрезком больше ничего другого делать нельзя, только измерять. Ну и сочленять отрезки.
При этом отрезок не существует в природе, это продукт разума, идеализация, модель. Расстояние существует (в уме) как определяюще свойство отрезка, а отрезок как представление расстояния. Нет отрезка без расстояния (длины) и наоборот.
Кстати, дискретных (не непрерывных) отрезков не существует по определению.