Вопрос по математике + Задача

Question

Например есть отрезок 100 км. Машина едет по нему со скоростью 30км\ч. Как будет быстре проехать этот отрезок:
1. Проехать его весь со скоростью 1. 5, т. е. 30*1. 5 = 45км\ч
2. Проехать половину со скоростью 1, т. е. 30км\ч и половину 2х, т. е. 60км\ч

Получается:
100/45= 2. 22 часа
 (50/30) + (50/60) = 2. 5 часа

Почему получаются разные результаты? Логика большинства людей (судя по опрошенным мной) подсказывает что должно быть одинаково. Почему если проехать половину в два раза быстре, это не тоже самое как проехать весь отрезок со скоростью 1. 5? Причем если переделать задачу и замедлить а не ускорить машину, т. е. в 1. 5 раза медленне весь путь или только половину в 2 раза медленне, то результаты совпадают и логика работает.

Answer 1

Потому что средня скорость на участке, разбитом на две равные по расстоянию половины, не равна средней арифметической скоростей на каждой из половин. Это происходит, потому что каждую половину тело проходит за разное время.
Если бы времена были одинаковы (а участки разными по длине) , то тогда средня скорость была бы равна средней арифметической. И тогда пройти один участок с одной скоростью, а другой - с другой, это всё равно, что пройти весь путь со средней скоростью.

Логика как раз подсказывает обратное. Это интуиция подсказывает, что должно быть так. Но это неверно.

Чтобы это понять, достаточно представить, что машина первую половину пути проходит с очень большой скоростью (примерно бесконечность) , а другую - с очень маленькой (примерно 0) , тогда средне арифметическое скоростей - это всё ещё очень большая скорость. И весь путь машина проедет практически мгновенно, если едет с такой скоростью. В то же время, если она на разных половинах едет с разными скоростями, то первую половину она проезжает мгновенно (из-за большой скорости) , а вторую просто стоит на месте (её скорость равна нулю, и эту половину она никогда не проедет) . В итоге время на то, чтобы проехать весь путь, равно бесконечности, потому что в любой момент времени машина будет стоять на полпути, не доехав до конца.

Средня скорость на участке, разбитом на две равные по расстоянию половины, считается как средне гармоническое скоростей на данных участках. А именно, величина, обратная средней скорости, равна среднему арифметическому величин, обратных к данным скоростям. В нашем случае:

1/vср = (1/v1 + 1/v2) / 2 = (1/1 + 1/2) / 2 = (3/2) / 2 = 3/4, откуда vср = 4/3.
Т. е. если машина хочет проехать весь путь с одной скоростью за то же время, как две половины со скоростями 30 и 60 км/ч, она должна ехать со скоростью (4/3) *30 = 40 км/ч, а не 45 км/ч.