С какой частотой должен вращаться ротор асинхронника, чтобы синхронизироваться с колебаниями обмотки и конденсатора ?

Answer 1

Уже отвечено. Конденсатор подключается последовательно с обмоткой, а не параллельно ей. Поэтому НЕТ никакого колебательного контура.
И даже если бы он был - в двигателе НЕТ свободных колебаний, т. к. он питается от внешнего переменного напряжения.
С какой скоростью должен вращаться ротор? Почти со скоростью вращения магнитного поля в статоре. Которое задается частотой питающего напряжения и количеством полюсов.