Почему фокусное расстояние сферического зеркала равна половине радиуса кривизны ?

Answer 1

потому что это не так: фокусирующе зеркало должно иметь форму параболы, а не сферы. Но в качестве грубого приближения можно использовать маленький кусочек сферы (размером порядка 1/8 фокусного расстояния) .

Answer 2

Посуди сам. Если свет будет исходить из центра кривизны, то будет падать на зеркало строго по радиусу - и отражаться обратно в ту же точку, откуда прилетел. То есть, соберется в фокус там же, где находится лампочка.
А фокусное расстояние определяется по тому, где сойдется в фокус ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ пучок света. Нарисуй эскиз, на котором свет падает на зеркало не из центра кривизны, а из бесконечности. Лучи начнут отражаться не в центр кривизны, а в точку, вдвое ближе к зеркалу. Вот поэтому
Но на самом деле, при таком падении света, он будет собираться не в одну точку, а в ОТРЕЗОК, вдоль оси светового пучка. Для собирания в точку параллельного пучка, поверхность должна быть параболической, а не сферической. Но при очень малой кривизне (и сответственно, удаленной точке фокусировки) это различие влияет меньше, и фокус можно считать боле-мене точечным.