4. Как доказать, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними?

Answer 1

Честь этого доказательства принадлежит англичанам.
Сэр Генри Кавендиш, не выходя из собственного замка, экспериментально определил среднюю плотность Земли, а через неё - и фундаментальную константу нашей Вселенной - гравитационную постоянную G.
Исак Ньютон чисто теоретически доказал, что G является именно постоянной, одинаковой везде. Попутно создал основы математического анализа. И через некоторое время был титулован королевой Англии.
Понимаете, там у них, в Великобритании, умных людей не сажают в тюрьмы, не обвиняют в шпионаже и пр. и пр. - а, наоборот, награждают. Такая вот удивительная страна.

Answer 2

Вобще-то СНАЧАЛА сэр Исак выдвинул свой закон всмирного тяготения, и уже ПОТОМ сэр Генри (Кэвендиш) экспериментально определил значение G.
И Ньютон вовсе не доказывал постоянство гравитационной постоянной - он это ПОСТУЛИРОВАЛ. Почувстввуйте разницу.
 
А сам Ньютон свой закон действительно вывел из законов движения небесных тел, открытых Кеплером. Именно Кеплер на основе многолетних наблюдений за планетами установил, что те движутся по эллипсам, в одном из вокусов которого находится Солнце. И Ньютон, пользуясь им самим разработанным математическим аппаратом (дифференциальное исчисление) , показал, что такое движение возможно в том случае, если сила азвимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния.
 
Вобще-то закон всемирного тяготения можно представить и как следствие теоремы Остроградского-Гаусса (той же самой, из которой можно вывести и закон Кулона) , но это до некоторой степени "подгонка решения под известный ответ". Гравитационное поле - потенциальное поле. А значит, для него справедливо отверждение, что поток вектора напряжённости такого поля через некоторую поверхность пропорционален заряду, охватываемому этой поверхностью. Ну и если в качестве "заряда" взять массу материальной точки, а в качестве поверхности - сферу, для которой эта точка является центром, то закон Ньютона враз и вывалится.

Answer 3

Только при такой зависимости от расстояния - траектории небесных тел представляют собой конические сечения (что мы и наблюдаем) . Почему при такой - доказательство сложное, здесь ему не место.