Многочлен, принимающий значения простых чисел.

Question

Может ли существовать многочлен (необязательно от одной переменной) , множество значений которого при натуральных переменных равно множеству всех простых чисел?

Answer 1

Не может.
Возьмем простое число 2.
Чтобы его получить, многочлен должен уметь давать четные значения.
Т. е. sum (Aixi) =2 - четное.
Мы его можем поделить на 2, т. е. 2sum (Bixi) =sum (Aixi) =2
А теперь возьмем любое другое простое число. Оно будет нечетным. Т. е. 2sum (Bixi) должно быть нечетным. А так сделать не получится.
Ну или можем взять 2sum (Bixi) =sum (Aixi) =2. Отсюда следует, что sum (Bixi) =1 при любых обстоятельствах, и других простых чисел мы не получим.