О ряде Маклорена

Question

Здесь ли, или в "Вузах и колледжах", приводился вопрос: "Решите плиз:
y= 1-x^3/3! *4*x^6/6! -1*4*7*x^9/9! ".
Оставим на стороне вопрос, как вобще можно "решить" такое.
Это - скоре всего первые члены разложения некоторой функции y= f (x) на ряд Маклорена. У меня два вопроса:
1) Как можно представить общий член b_k такого ряда? Ясно, что b0= 1; для натуральных k, не кратных 3, b_k= 0. Для кратных же:
b_k= (1) ^k*1*4*. * (k-2) /k! *x^k.
Но каков будет лаконичный вид общего члена?
2) Есть ли вобще какая-либо методика восстановления функции, например, в данном случае, если известно разложение?

Answer 1

"Есть ли вобще какая-либо методика восстановления функции" - это проблема о суммировании ряда. Общего метода нет. Есть только методы для рядов специального вида, и различные приемы, применимые в разных ситуациях. Относительно общие вещи для случая, когда общий член ряда какя-то адекватная функция:
1) Метод Ватсона или формула Абеля-Плана (там почти одно и то же) . Так вы получите ответ в виде интеграла, который, скоре всего, невозможно будет посчитать. За то он зачастую сходится куда лучше, чем исходный ряд, что позволяет делать приближенные вычисления, да и просто эффективне вычисялть суммы.
2) Формула Эйлера-Маклорена. Она позволяет заменить ряд на интеграл + поправку. Последннюю, согласно формуле, можо вычислить с любой точностью. В редких случаях поправку удается выцепить точно, и часто можно добиться е малости.