Как установить биекцию между множествами [0, 1] и (2, 5) ?

Question

У меня есть предположение сделать это через дополнительные множества, но все равно полноценная картина не складывается.

Answer 1

биекцию между (0, 1) и (2, 5) построить легко: y = 3x+2

основная проблема - с 0 и 1.
идея такова - выделить в обоих множествах по счетной последовательности, подсунуть "лишние точки" в первую и отобразить эту удлиненную первую последовательность на вторую.
a b c d e f .
а б в г д е .
превратить в:
0 1 a b c d e f .
а б в г д е ж з .

во исполнение этого замысла во множестве [0, 1] выделим последовательность:
0, 1, 1/2, 1/4, 1/8 и т. д.

в множестве (2, 5) выделим последовательность:
3 * 1/2 + 2, 3 * 1/4 + 2, 3 * 1/8 + 2 и т. д.
 (это фактически 3x+2, примененная к первой последовательности, за исключением первых двух точек)

все прочие точки множеств будем переводить друг в друга по правилу:
x - 3x+2,
а точки этих двух последовательностей - по правилу:
0 - 3 * 1/2 + 2
1 - 3 * 1/4 + 2
1/2^n - 3 * 1/2^ (n+2) + 2

вот, собственно, и всё.