Неравенство с двумя корнями

Question

Пусть задано неравенство а/с = х = (а-1) / (с-1) (1) ; все величины натуральные числа, c 1. Необходимо определить, при каком сотношении а, с и х неравенство (1) будет иметь один-единственный корень.
Эта задача решена (вопрос 226447402) : сх- (х-1) = а = сх (2) . Есть и равносильное, но боле сложное решение: [ (2с-1) х-с]/2 а [ (2с-1) х+с] /2 (3) .
Теперь вопрос поставим иначе. При каком сотношении тех же величин неравенство (1) будет иметь ровно два корня?
Например, чтобы иметь корни х1= 4, х2= 5 д. б. : 1) а= 12, с= 3 или 2) а= 16, с= 4. Мои проверки показали, что при любых других значениях а и с требование вновь поставленной задачи вроде не соблюдается. Но как решить это в общем виде, аналогично (2) или (3) ?
Сам пока не справился.

Answer 1

ну, расстояние d = (а-1) / (с-1) - a/c можно записать так:
d = (a/c-1) / (c-1)
если нужно два корня, то надо смотреть a/c - если оно целое, то нужно требовать d 2, иначе 2 d 3

получается, нужные а и с - решения уравнения
a = (с^2 - с) d + с
с неким в общем случае нецелым параметром d = m/n
следовательно, чтобы a было целым, надо, чтобы n было делителем числа с^2 - с.

для a, делящегося на с, решение, зависяще от трех параметров, выглядит так:
задаем c = 3
берем любой делитель числа 3^2-3 = 3*2, например, n=2
к нему выбираем m такой, чтобы m/n 2, например, m=3
получаем второе число: a = 12