Площадь фигуры без интеграла

Question

Прошу определить площадь, ограниченную параболой у= х^2-4х+3 и прямой у= х-1, не применя ни интегрирования, ни дифференцирования, а пользуясь лишь известным свойством параболы (это свойство по сути было установлено ещё Архимедом) .

Answer 1

Площадь сегмента параболы, ограниченного параболой и прямой (где ось параболы параллельна Oy) , найти можно легко:
Пусть y = f (x) уравнение параболы, y = g (x) - уравнение прямой.
Тогда +/-S = (2/3) * (x2 - x1) * (f (x0) -g (x0) , где x1 и x2 - корни уравнения f (x) - g (x) = 0, x0 - средне арифметическое этих корней.

Почему: догадаться-то легко, а формально расписывать долго, проще замену переменных провести и якобиан преобразования найти, но не буду, т. к. это ход мыслей не покажет.

Покажем лучше ход мыслей: аффинным преобразованием сегмент параболы можно привести к "каноническому" сегменту, ограниченному кривыми y = x^2 и y = 1.

Это аффинное преобразование можно представить в виде композиции параллельного переноса, линейной 2x2 жордановой клетки, сохраняющей начало кординат, ось Oy и разворачивающей прямую, ограничивающую сегмент, горизонтально, и двух сжатий вдоль осей. Из этих преобразований только сжатия меняют площадь, они же меняют расстояние между корнями и значения f (x0) - g (x0) в коэффициенты сжатия раз.