Почему знаменатель обыкновенной дроби в показатели степени - это степень корня? См. текст вопроса

Question

Собственно, упрощенно, почему число в степени 1/2 - это квадратный корень из этого числа (или же, почему а в степени b/c - это корень с-ой степени из а в степени b) ? Имею в виду: это просто так формально решили, так условились обозначать, или тому есть какое-то объяснение, есть какая-то математическая причина?

Answer 1

Как отметил Ли Шен, это крайне логично.
Возьмём число а и возводим его на n-ную степень, где n - натуральное число. Обозначим полученное число через р. Т. е. а^n= р. По определению а= корень в n-ной степени от р и это не вызывает никакого сомнения. Математики решили, что вместо натурального n можно взять и дробь b/с. То есть а^ (b/с) = р. Если возвести обе стороны в с-ую степень, равенство сохранится: а^[ (b/с) *с] = а^b= р^с. Отсюда, согласно определению корня, а= корень в b-ой степени от р^с.
Пришли к тому, о чём был ваш вопрос.