Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, это аксиома? Если нет, то почему так работает ?

Answer 1

Это следствие определения градусной меры дуги окружности и угла. Если полную окружность поделить на 360 частей, то одна такая часть по определению имет градусную меру 1 градус. А градусная мера произвольной дуги равна сумме градусных мер дуг, на которые её можно разбить. В частности, если её можно разбить на несколько одинаковых дуг, каждая из которых составляет 1/360 часть от полной окружности, то количество таких дуг и есть градусная мера данной дуги в градусах.

Отсюда градусная мера полной окружности равна 360°, а значит, градусная мера половины окружности равна 180°.

С другой стороны, на половину окружности опирается развёрнутый центральный угол, который тоже равен 180°

А если развернутый угол поделить на 180 частей, то каждая такая часть по определению имет градусную меру в 1°. Она же, как центральный угол, опирается на дугу окружности, градусная мера которой также равна 1°. В общем же случае, центральный угол, в k раз больший угла в 1°, опирается на дугу окружности, также в k раз большую дуги в 1°. Это легко видеть, разбив сектор с таким центральным углом на k частей, которые все равны между собой, как совмещающиеся наложением. Поэтому из равенства углов следует равенство дуг. А значит, как центральный угол, так и дуга будут иметь градусную меру в k°, т. е. центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.