Есть ли "обратный вектор"?

Question

Есть ли преобразование, которое переводит некоторый вектор Р (a, b, c) в орт - единичный ортонормированный вектор?
Желательно тоже чтобы в векторной форме записывалось. Как оператор А (Р) , зависящий от трёх величин (n, m, k)

Подобно тому, как для квадратной матрицы существует обратная ей. При перемножении которых получается единичная матрица E.

Это что-то из преобразования кординат, но уже не помню.

Answer 1

Да. Таких преобразований будет столько, какова размерность пространства (n= сколько кординат у вектора) . То есть не единственное и, естественно, необратимо (любое и даже кучкой в количестве меньшем размерности n) . А полноразмерное - даст снова n штук векторов, среди которых будет исходный, что нелегко будет установить "какой".

Answer 2

Такое преобразование конечно есть. Оно представляет собой композицию двух преобразований:
1. проекция вектора на какую-нибудь ось кординат.
2. умножение этой проекции на число обратное е длине.
В результате получаем ортонормированный вектор вдоль этой оси кординат.
Это преобразование это конечно матрица, а не вектор. Но это очень простая матрица: в ней один из элементов главной диагонали равен числу обратному длине проекции, а остальные элементы равны нулю.
Но толку от этого мало, так как мы не можем по такой матрице восстановить исходный вектор. Если в случае с обратной матрицей, мы по ней всегда можем восстановить исходную матрицу (поскольку если обратная матрица существует, то она единственна) , то в нашем случае это не прокатит.

Answer 3

Немного не понял.

Пусть у нас есть вектор "a" из E^3 и ортонромированный базис { i, j, k }.
Что вы хотите - найти вектор x, для которого, например, векторное произведение [a, x] = i?
Это уравнение разрешимо относительно x в том и только том случае, когда a - ненулевой вектор, ортогональный i (т. е. является нетривиальной линейной комбинацией j и k)

Решать это уравнение, когда оно разрешимо, можно так.
Рассмотрим оператор A_a, заданный как A_a (x) = [a, x], несложно проверить, что он линейный.
Поэтому общим решением уравнения [a, x] = i является сумма любого его частного решения и ker (A_a) .
ker (A_a) , очевидно, линейно порождается вектором a.
Частное решение тоже подобрать можно практически в уме - крутануть "a" в плоскости j, k в нужную сторону на 90 градусов и поделить на квадрат нормы.