Функциональный анализ теория

Question

Объясните пожалуйста что такое сопряженное пространство и сопряженный оператор

Answer 1

Речь идет о линейных пространствах. В пространстве Х вводится линейный функционал. Его природа - вектор, то есть, результат применения функционала к вектору х - скалярное произведение векторов.
Раз так, то всевозможные функционалы (векторы) образуют линейное пространство Х*, которое и называют сопряженным Х.
А сопряженный оператор ничего общего с этим не имет, просто слово похоже.

Answer 2

Пусть (V, K) - ЛП. Сопряженным к V называется пространство линейных функционалов, действующих из V в K. Обозначается V*.

Пусть A: V - W линейный оператор. Сопраженным к нему называется оператор A*: W*-V*, такой, что для любого линейного функционала h из W* и любого x из V верно h (Ax) = (A*h) x.

Касаемо теоремы - ну давай покажем, например, что образ суммы при действии A* равен сумме образов. Для произвольных h1, h2 из W* и x из V имем
 (A* (h1 + h2) x = (h1 + h2) (Ax) = h1 (Ax) + h2 (Ax) = (A* h1) x + (A* h2) x, т. е. в силу проиоизвольности выбора x функционалы A* (h1 + h2) и A*h1 + A*h2, как отображения, равны.
С однородностью сам разберись аналогично.

Много писать не хочу: рискую приучить тебя к не самым удобным обозначениям. Действие линейного функционала на вектор часто обозначают аналогичено скалярному произведению, даже если скалярного произведения не задано или, того хуже, восстановить его по какой-нибудь заданной норме невозможно.