«Парадокс» с системой уравнений

Question

Напишем неизвестные x, y и z по кругу, и обходя круг, составим три уравнения:
x+y= 3
y+z= 4
z+x= 5.
Система решается просто: х= 2, у= 1, z= 3.
Теперь то же самое делаем для 4-х неизвестных:
x+y= 3
y+z= 4
z+t= 5
t+x= 6.
Можно убедиться, что эта система НЕ ИМЕЕТ решения; не имет решения и любая другая система, в которой первые три уравнения сохраняются, а в 4-м сумма указывается любым числом, отличным от 4. А при сумме 4 система
x+y= 3
y+z= 4
z+t= 5
t+x= 4
система имет БЕСКОНЕЧНОЕ число решений, например:
1) x= 0, y= 3, z= 1, t= 4; 2) x= 1, y= 2, z= 2, t= 3 и т. д.
Словом, НЕВОЗМОЖНО составить 4 уравнения «по кругу». Почему это так?

Answer 1

Ну вы определитель первой матрицы в ответе Выше разложите по первому столбцу, 4 - четное число, поэтому определитель - ноль.

А дальше вполне естественно ожидать, что при четном кол-ве переменных/уравнений у вас система окажется несовместной (если специально не подгонять оставшийся столбец в расширенной матрице - см. теорему Кронекера-Капелли) , настолько естественно, что даже о ранге расширенной матрицы системы думать лениво.

Вам, наверное, хочется услышать в ответе что-нибудь о четности количества переменных/уравнений, но чтоб в рамках школьного курса ответ был. Так? Только мне его лениво в школьный курс загонять.

Answer 2

потому что при x+y=3 (1) , y+z=4 (2) , z+t=5 (3) , t+x всегда равно 4. покажем это. из (1) y=3-x (и при натуральных решениях x3 (4) , из (2) z=x, из (3) t=4-x, тогда t+x=4-x+x=4. при условии (4) система имет только 2 решения, при х=1 и х=2. если включить в натуральный ряд и 0, то решений три. добавляется при х=0. если решение в целых числах (добавляем отрицательные) , то решений бесчисленное множество. берем произвольное х и находим y=3-x. z=x и t=4-x.

Answer 3

Так обычно решаются задачи на оптимизацию — добавляется независимый параметр (ы) , который можно варьировать для поиска экстремума (симплекс-метод) , что и предлагается выше. Ур-ния ограничивают некую область, в которой — бесконечное кол-во решений, а надо выделить наилучше (-шии) (оптимальные) .

Answer 4

1100
0110
0011
1001

110
011
101

ранг первой матрицы 3. второй - тоже 3. почему первая вырожденная? потому что есть 2 строки (1 и 3) которые в сумме дают строку из сплошных единиц. если из неё вычесть вторую, получим четвертую.
имет мой ответ для Вас хоть какую-то ценность? "Почему? " - вопрос аристократический.

Answer 5

Добавь в последне уравнение параметр (t+x=a) и реши задачу при каких значениях параметра a система имет одно решение.

Как только ты это сделаешь тогда мы сможем убедиться что твое утверждение верно. А пока - это лишь недоказанные предположения.