Question

Помогите решить диф уравнение первого порядка
 (2xy+y^2) dx+ (2xy+x^2) dy=0

Answer 1

Левая часть равенства - это конструкция вида:
P dx + Q dy= 0
Предположим, что слева полный дифференциал какой-то функции двух переменных.
dU = Ux dx = Uy dy = P dx + Q dy
Так можно представить, если выполняется условие Py = Qx (Т. к. должно выполняться условие Uxy = Uyx) . Это условие у нас выполнено (можете проверить) , поэтому все нормально.
Значит наше уравнение на самом деле имет вид:
dU = 0
И его полный интеграл:
U = Const.
Надо только найти U (x, y) . Для этого у нас есть два сотношения:
Ux = P = 2xy+y^2
Uy = Q = 2xy+x^2
Интегрируем первое равенство по x:
U = y x^2 + x y^2 + f (y)
Продифференцируем по y:
Uy = x^2 + 2xy + df/dy
Воспользуемся вторым сотношением:
x^2 + 2xy + df/dy = 2xy + x^2
df/dy = 0
f = Const
Значит: U (x, y) = xy (x+y) +Const
Тогда общий интеграл уравнения:
xy (x+y) =Const
От сюда можно выразить y, конечно, но в задании этого не сказано)