Объясните роль мнимого числа в комплексном числе.

Answer 1

Его роль только лишь в том, что оно обозначает число с определенным свойством, отличным от аналогичного свойства действительного числа. Для обычного мнимого числа это ортогональность его вектора, кординатой которого является его модуль к аналогичному вектору действительного числа. Проще говоря, векторы числа 5 и 5i расположены ортогонально, а длины их одинаковы.

Answer 2

В электротехнике - это реактивное сопротивление или же тепловые потери.
В математике - абстрактное дополнение для того, чтобы число стало точкой на плоскости (вторая кордината числа. )

Answer 3

Если кратко, то условно любое число можно представить как одномерный вектор, то есть у него условно есть направление либо вперёд (+) либо назад (-) , ну и модуль - само значение. Но для некоторых задач нужен не одномерный вектор, а хотя бы двумерный, то есть не числовая прямая, а числовая плоскость. Вот только у любой плоскости две кординаты - х и у, или ширина и длина, если хочешь. При этом пересекаются эти две оси только в точке 0. Следовательно, новую кординату в такой плоскости нужно выражать в чём-то, чего нету на исходной числовой прямой. Например, в неком мнимом числе (-1) ^0. 5, которого на числовой прямой тупо нету. Это позволяет задавать точку уже не на числовой прямой, а на числовой плоскости, где одна кордината - привычное нам число, а вторая - мнимое число. Это если совсем уж для детей, тонкости я опускаю.

Answer 4

Да у вас просто операция комплексного сопряжения (т. е. замены знака мнимой части) очень много где вылезает, поэтому чисто мнимые числа и такие особенные среди комплексных.
Вы первый раз при решении квадратного уравнения с действительными коэффициентами с этим сталкиваетесь - если z - корень, то и число, сопряженное к z - тоже корень.

Вобще, комплексное сопряжение есть единственный нетождественный автоморфизм непрерывного поля C, поэтому { 1, i } (или { 1, -i } ) и удобно выбрать в качестве базиса при рассмотрении C как ЛП над R.

Ладно, давайте лучше что-нибудь навру.

Вот мы знаем геом. смысл сложения и умножения комплексных чисел и хотим его сохранить.
Вот поэтому при откладывании действительных чисел на оси абсцисс на ось ординат неизбежно попадают числа, квадраты которых (а не, например, кубы) действительны, а декартова система кординат удобна - вот и обзовем числа на оси ординат, кроме нуля, чисто мнимыми.