докажите что не существует натуральных чисел a и b для которых a^2 = 2*b^2.

Answer 1

Пусть такие числа существуют.

Тогда a^2 - чётное число, т. к. делится на 2 (в частном получится b^2) .

Тогда a - тоже чётное число. Если бы оно было нечётным, т. е. имело вид a = 2k + 1, то a^2 = 4k^2 +4k + 1 = 2* (2k^2 + 2k) + 1 также было бы нечётным, а согласно предыдущему оно чётное.
Поскольку a - чётное, то a = 2n, a^2 = 4n^2.

Значит 4n^2 = 2b^2, откуда b^2 = 2n^2, т. е. b^2 - чётное. Аналогично предыдущему, b - чётное.

Итак, a и b - чётные (делятся на 2) , значит 2 - их общий делитель. Разделив их на 2, получим натуральные числа a1 и b1, т. е. a = 2a1, b = 2b1. Подставив их в исходное равенство, получим:
4a1^2 = 2*4b1^2, откуда a1^2 = 2b1^2.

Рассуждая аналогичным образом, получим, что a1 и b1 - чётные, т. е. 2 - их общий делитель, а значит, общим делителем a и b является 4.

Представив a1 и b1 в виде a1 = 2a2, b1 = 2b2 и подставив в исходное равенство, получим, что a2 = 2b2^2, и 2 - общий делитель для a2 и b2. Значит, общим делителем чисел a1 и b1 является 4, а чисел a и b - 8.

Продолжая эту цепочку сколько угодно раз, мы получим, что числа a и b имеют бесконечно большой общий делитель (для любого их общего делителя p можно найти такой их общий делитель, который будет больше p) . Но такого не бывает. Хотя бы потому, что общий делитель двух чисел не может быть больше одного из этих чисел.

Поэтому предположение о существовании таких натуральных чисел a и b, что a^2 = 2b^2 неверно. Значит, их не существует.