Задача о взаимной простоте сумм степеней двойки.

Question

Дана арифметическая прогрессия такая, что n-ый е член равен (2^n) -1. Все ли последовательные члены этой прогрессии взаимно просты? Если да, то как это можно доказать? Если нет, то каков минимальный контрпример?

Первые члены прогрессии: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095.

Answer 1

Рассмотрим любые два последовательных числа А= (2^n) -1 и Б= (2^ (n-1. Тогда Б=2А. Если А и Б имеют общий делитель В, то Б-2А=1 тоже делится на В. Значит, В является делителем числа 1, что при В больших 1 невозможно. Таким образом, любые два соседних числа взаимно просты.

Только в условии у вас ошибка: ваша последовательность не является прогрессией.