Помогите найти обще решение диф. уравнения 4y``+4y`+y=4e^ (-x/2) *cos2x

Answer 1

решение данного неоднородного диф. уравнения второго порядка ищем в виде y=Y+{y}, где Y - обще решение однородного уравнения 4y``+4y`=0, a {y} - частое решение для функции f (x) =4e^ (-x/2) *cos2x. для нахождения Y составляем характеристическое уравнение 4л^2+4л=0 (здесь вместо греческой буквы лямда я пишу русскую букву л) . корни уравнения л1=л2=л=-1/2. смотрим в справочник, при таких корнях Y=C1e^ (-x/2) +C2xe^ (-x/2) . в справочнике же видим что при такой функции f (x) частное решение имет вид {y}=e^ (-x/2) * (Acos2x+Bsin2x) . осталось взять первую и вторую производные от {y} и подставить в исходное уравнение. сокращая на e^ (-x/2) и приравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x (в правой части коэффициент при sin2x равен 0) получаем В=0, А=1/4 (это надо проверить! ) . окончательно y=e^ (-x/2) * (C1+C1x/4*cos2x) .