Можно ли как-нибудь сравнивать промежутки, содержащие бесконечное число чисел?

Question

Просто нестыковочки какие-то выходят. Возьмём два множества: [5;6] и (5;6) . В обоих - бесконечное число чисел, но в первом на два больше (? ) . Выходит, одна бесконечность больше другой? Поясните, пожалуйста.

Answer 1

Легко можно показать, что точек одинаковое число на плоскости и на прямой. На отрезке от 0 до 1 и на прямой и т. п. Две точки вобще погоды не делают.

Answer 2

Есть счетные (бесконечные) , есть несчетные множества (тоже бесконечные) . Счетные можно прономеровать

Answer 3

Бесконечности делятся на классы. Сравнивать можно только классы бесконечностей. Множество всех комбинаций элементов любого бесконечного множества всегда образует множество следующего класса бесконечностей. Бесконечность остается бесконечностью того же класса (мощности) , если к ней прибавить любое конечное число элементов, умножить е на число и даже прибавить к ней бесконечность того же класса (что в принципе не отличается от умножения на число) . Классы бесконечностей, кстати, образуют числа особого рода - так называемые кардинальные числа.

Answer 4

Операции отношений >, <, = применимы только над элементами множества (действительных чисел) , но не над самими множествами. Будет правильней сказать что множество (5;6) является подмножеством множества [5;6], по определению подмножества множества действительных чисел.

Answer 5

Нет такого числа - "бесконечное".
И то, и другое называется "бесконечное множество".
Бесконечные множества сравниваются по мощности. Понятие числа элементов к ним неприменимо.
Мощности этих двух множеств одинаковы (так наз. мощность континума) .