Гёдель против Евклида

Question

Если я правильно понимаю теоремы Гёделя о неполноте, то в "обычной" геометрии Евклида можно сформулировать теорему, истинность или ложность которой невозможно ни доказать, ни опровергнуть (в рамках Евклидовой геометрии) . Причём, речь в данном случае не идёт о "постулате параллельности", поскольку он уже включён в число аксиом. Кто-нибудь в состоянии сформулировать такую теорему? (или я неправильно понимаю Гёделевы теоремы? )

Answer 1

Вроде бы как раз суть вопроса именно в том, что появляются недоказуемые утверждения, и на них можно давать ответы в виде совершенно различных аксиом.

А тот факт, что в геометрии вроде бы не осталось недоказуемого, связан лишь с тем, что математика довольно условно разделена на такие разделы, что к части её, называемой геометрией, отнесли только то, что уже не содержит недоказуемого.

Answer 2

Правильно вы понимаете. Я бы немного уточнил - в системе аксиом, включающей аксиомы арифметики, существуют утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
А вот с примерами сложне. Теорема Гёделя - типичная аксиома существования, она доказывает существование некоторого объекта, но не даёт рецепта, как его найти или построить.

Answer 3

Теорема состоит в том, что можно построить бесконечное множество самосогласованных систем, не имеющих выхода на общественную практику и вследствие этого ложных. Вот поэтому математика — лженаука, пока не прошла проверку практикой.

Такая проверка не всегда возможна. У Лейбница приводится пример: невозможно сложить 7 и 5, получив 12. Он это объясняет на 4-х страницах.

Вот так!