Теорема Римана, невозможность перестановки членов условно сходящегося ряда

Question

Дан ряд:
 
 
 
Даны свойства:
 
Свойства абсолютно сходящихся рядов
1. Сходимость не нарушается и сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется при произвольной перестановке его членов. Иначе говоря, для абсолютно сходящихся рядов справедлив переместительный закон сложения.
2. Два абсолютно сходящихся ряда можно перемножать как многочлены, т. е. каждый член одного ряда умножать на каждый член другого и резуль-таты складывать в любом порядке; получающийся ряд тоже будет абсолютно сходящимся, и его сумма будет равна произведению сумм перемножаемых рядов.
 
 
Вопрос: как это возможно? Как от перестановки членов ряда может измениться его сумма?
Сумма этого ряда как я понимаю - 0, 621 (обратное пропорции золотого сечения) .
И как оно может измениться, если мы начнём переставлять местами его члены, складывать их и т. д?

Answer 1

а почему невозможно?
если мы попробуем сложить порознь отрицательные и положительные члены - оба ряда будут несходящимися. То есть сумма получается конечной только за счет того, что положительные компенсируют отрицательные. Переставля члены - мы меняем эту самую компенсацию.
 
все равно, что у тебя есть два крана - один наливает воду в ванну, другой - сливает е. покручивая их можно держать уровень на любой высоте. а можно - переполнить через край.

Answer 2

Фишка в том, что ряд, он бесконечный.
В приведённом примере, взяли ряд, в котором знаменатели - натуральные числа и превратили его в ряд, где знаменатели только чётные. А теперь обрати внимание на то, что чётных чисел столько же, сколько и натуральных ;)