Три окружности одного и того же радиуса соприкасаются взаимно. Определить отношение радиусов двух окружностей,

Question

. касающихся этих трёх окружностей внешне и внутренне.

 (Тут "прикола" нет. Просто привык все вопросы задавать здесь, в "Естеств. науках". )

Answer 1

проще использовать формулу Соди. для четырех окружностей каждая из которых касается трех других, причем каждая пара соприкасается в отдельной точке справедлива такая формула 2 (a^2+b^2+c^2+d^2) = (a+b+c+d) ^2. если r1, r2, r3 и r4 - радиусы окружностей, то a=1/r1, b=1/r2, /r3, d=1/r4, т. е. это просто кривизны окружностей. обозначим искомые радиусы через a=х и a=у. по условию r1=r2=r3=r. при внешнем касании a0, b0, c0, d0 и мы имем 2 (1/x^2+3/r^2) = (1/x+3/r) ^2. это квадратное уравнение относительно х, которое легко решается. при внутреннем касании a0, b0, c0, d0 и мы имем 2 (1/y^2+3/r^2) = (-1/y+3/r) ^2. опять квадратное уравнение. остается найти х/у.