Как доказать что при любых значениях n3-n нацело делится на 6

Answer 1

n^3-n = n* (n^2-1) = n* (n-1) * (n = (n-1) *n* (n

Число делится на 6 если оно делится на 2 и на 3.
Итак, при делении n на 2 можем получить остаток или 0 (если делится) или 1 (если не делится) .
Если (n mod 2) = 1, то (n-1) mod 2) = 0 - доказывает что указанное выражение обязательно делится на 2

При делении n на 3 возможны остатки 0, 1 или 2. Рассмотрим те случаи, когда n не делится на 3 (когда остаток отличен от нуля) :
1. n mod 3 = 1, из этого как и в первом случае следует
 (n-1) mod 3 = 0
2. n mod 3 = 2, из этого следует что
 (n mod 3 = 0

Таким образом мы видим что при любых n какой-то из множителей обязательно делится на 2 и какой-то на 3, а значит всё выражение делится на 6.

ДОКАЗАНО.