Можно ли число 8642 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?

Answer 1

нельзя. докажем это. 8642=k^2-n^2= (k-n) (k+n) (1) . число 8642=1*2*29*149 можно разложить на следующие множители 8642=1*8643=2*4321=29*298=58*149. отмечаем что множители имеют во всех парах разную четность. обозначим для определенности первый множитель а=2t и второй множитель b=2q, где t и q какие-то натуральные числа. теперь имем (k-n) (k+n) =ab=2t (2q, значит k-n=2t, k+n=2q. сложим равенства 2k=2 (t+q) . k может быть натуральным если только правая часть кратна 2 (четная) , а это не возможно не при каких t и q. чтд. а вот число 4321 можно представить как разность двух квадратов. покажем это k-n=1, k+n=4321, 2k=4322, k=2161, n=2160 и 4321=2161^-2160^2=4669921-4665600=4321.