Доказать делимость методом математической индукции

Question

Как можно доказать методом математической индукции, что (n^x - n) / 5 без остатка при любых натуральных n и любых натуральных x?
Или, по меньшей мере, как доказать, что n^5 - n / 5 без остатка при любых натуральных n?
1) n = 1 = деление без остатка выполняется
2) n = 5m (m принадлежит рациональным числам) = 3125m^5 + 5m = делимость без остатка выполняется
3) n = 5m = 1+25 m+250 m^2250 m^3+3125 m^4+3125 m^5-5m-1 = делимость без остатка также выполняется.
Если так можно делать, то, получается, я доказал, что n^5 - n / 5 без остатка при любых натуральных n, а как теперь обобщить это для любой натуральной степени?
Вобще, данный метод доказательства выглядит довольно странно. Так можно делать? Или это делается как-то иначе?

Answer 1

Сначала всё ж надо дать правильную формулировку метода математической индукции. Она такая: ДОКАЗЫВААЕТСЯ, что ЕСЛИ равенство выполняется при некотором фиксированном n, то оно выполняется и при n (или n+a, в общем случае) . Потому ПРОВЕРЯЕТСЯ, что равенство выполняется при НЕКОТОРОМ значении n. ТОГДА из жтих двух утверждений и следует, что раз выполняется при вот таком n, и выполняется при n, то автоматом выполняется и при n+2, n+3 и так дале, то есть при любом произвольном n. Причём начинать тут вовсе не обязательно с 1.

Ну вот посмотрим для начала, что у нас происходит с х. При х=1 равенство очевидно выполняется. При х=2 получается n

Answer 2

Метод математической индукции заключается в доказательстве сначала для 1, затем для какого-нибудь абстрактного большого числа, которое мы назовём для удобства n. В случае справедливости этого, доказательство для всех чисел n, n. считается справедливым по индукции.