зачем нужна бесконечно малая функция в следующем тверждении?

Answer 1

Для того, чтобы второе слагаемое в правой части (которая с сигмой? или там альфа? ) можно было отбросить при предельном переходе.

Answer 2

Потому что выражение
 
y = f ' (x0) x
 
не является абсолютно точным. Всегда имется небольшая ошибочка, которая стремится к нулю для бесконечно малых x. Вот эта небольшая ошибочка и обозначается (x) x. А неточность этого выражения обусловлена тем, что мы кривую f (x) на небольшом участке заменяем отрезком прямой.

Answer 3

С одной стороны - да, слагаемое с "бесконечно малой функцией" представляет собой остаток боле высокого порядка малости по x, т. е. это o (x) . C другой стороны, Вы неправильно ставите вопрос. Бесконечно малая функция там никому "не нужна", она просто появляется в выражении приращения функции через производную в точке. Если это слагаемое отбросить, равенство будет неверным. Функция (x) входит в остаточный член и, в принципе, можно было бы не уточнять е поведение при x0. Правда, без этого уточнения выражение для приращения становится не таким интересным и содержательным.