Помогите пожалуйста ! Незнающих прошу не писать. )

Question

В математическом анализе есть понятие предел функции и предел последовательности. Меня интересует предел функции в точке.
 
По теории, в пределе аргумент функции никогда не равен числу, к которому устремляют аргумент, и функция не равна своему пределу, а лишь только стремится к нему. ( ну на практике, для нахождения определённого предела, конечно же подставляют значение к которому устремляют аргумент в функцию и получают предел, а потом говорят что это только устремление) .

Вот вопрос:
 
Почему потом знак равенства в пределе становится полноправным равенством? Т. е. сам знак "равно" , в пределе - это чисто формальное равенство, относящеся к предельному переходу ( функция не может равняться бесконечности , к примеру) , но если функция непрерывна, т. е. предел есть число ( при аргументе стремящемся к числу ( возьмём по стандарту) , то знак равенства почему-то перестаёт быть формальностью, а становится абсолютно чётким равенством.
 
К примеру : В вычислении и теории производной. Там предел отношения приращения функции и приращения аргумента, которое при малом приращении аргумента стремится к угловому коэффициенту ( тангенсу угла наклона касательной) , но по ВЕЗДЕ, где я только не встречал, это идёт как равенство: в физике, в самих же задачниках к теории ( Берман, Демидович) - а ведь это только стремление отношения к тангенсу, а не равенство !
 
Поэтому и вопрос: Почему так делают и как это объяснить ?

Answer 1

предел - это число. ничего примерного и проиблизительного тут нет. Если x sin (1/x) имет предел 0 в нуле - это именно 0, а не "почти ноль".
 
вглядись в определение - число A называется пределом, если для каждого эпсилон. (итд) - A здесь именно конкретное число, и только оно одно удовлетворяет определению.
 
То, что сама предельная точка исключается из определения связано с тем, что часто интересен предел там, где функция неопределена (как x sin (1/x) в нуле)
 
То же самое с производной. если ты считаешь отношение delta f/delta x - получаешь разные числа при разных delta x, но предел отношения - просто число. Ничего приближенного тут нет. Есть одно единственное число А, такое, что (sin (0+d) - sin (0) /d можно сделать сколь угодно малым, уменьшея d