Почему именно синусоида?

Question

Почему синусоида такая уникальная и особенная? Она очень часто встречается (вобще, не только в математике) и скажем почему колебания маятников, грузов на пружинах, электромагнитные колебания происходят именно по синусоидам? Например в колебательном контуре из за взаимодейтсвия этих двух процессов (разряжение конденсатора и явление самоиндукции катушки) они протекают по гармоническим законам а если бы не взаимодейстоввали то конденсатор себе разряжался бы а катушка. вобщем этого бы не было, но я так понимаю то что эти колебания синусоидальные есть результат взаимодействие двух этих несинусоидальных процессов. Причем интересно еще то что конденсатор разряжается в RC цепочке как показательная функция e^ (-t/RC) а я где то видел что используя мнимые числа можно изменить формулу (не помню какую) которая состояла из синуса в формулу с e^ (x) . Вобщем я вижу что во вем этом есть какая то связь и что синусоида особенная и прошу как можно поподробне обьясните.

Answer 1

Она "особенная" только в том смысле, что это удобный ортогональный базис. для представления ЛЮБЫХ периодических функций
А удобна она именно формулой Эйлера, которую Вы пытаетесь вспомнить)

Answer 2

многие кстати не понимают вобще "что это такое нарисовано" так сказать синусоиду рисуют просто чтобы математику было понятно что величина (чего угодно кстати) меняется по такому именно закону, а совпадение качающегося маятника и то что он рисует на листе это туповатое представление; можно вобще представить её спиралью если ось X от вас в пространство напр.

Answer 3

Она не столько "удобна" (удобны, каждая по-своему, почти все функции) , сколько обладает одним фундаментальным математическим свойством, которое в физических терминах описывается так: ускорение пропорционально отклонению и направлено к точке равновесия системы (т. е. против отклонения) .
Поскольку ускорение - это вторая производная от отклонения, то если вернуться к математике, получится простое дифференциальное уравнение: х" = -kх, где х" - вторая производная по времени (т. е. ускорение) , а k - коэффициент пропорциональности, который считается положительным, чтоб ускорение и было направлено против отклонения. И вот решением такого дифференциального уравнения и будут являться синус и косинус с угловой частотой, равной корню из k.
А это как раз множество процессов. В маятнике возвращающая сила пропорциональна отклонению - а сила, по второму закону Ньютона, как раз и даёт ускорение. В колебательном контуре то же самое - хотя процессы в нём чаще всего рассматриваются с помощью копмлексных величин, но елси переписать это всё "честно", во временн