Объясните мне эти два математических парадокса.

Question

1) На ноль делить нельзя. Но ведь по логике Х: 0=бесконечность. Или не так?
2) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии в ряду 1+0, 5+0, 25+0, 125 . =2. То есть каждое число в ряду вдвое меньше предыдущего.

Но ведь такая прогрессия БУДЕТ ТОЛЬКО ПРИБЛИЖАТЬСЯ к 2, но РОВНО 2 НЕ БУДЕТ НИКОГДА. В формуле должны стоять две волнистые линии (приближенное значение) , а стоит "=".

Answer 1

1. на ноль делить нельзя по определению операции деления. Например, потому, что нет такого числа "бесконечность". Дело в том, что аксиомы должны порождать непротиворечивую систему теорем, а "a/0=о" приводят к противоречиям.
Боле того, арифметические операции должны давать единственное число в результате, это позволяет выписывать любое выражение и знать, что результат (если существует) - то это одно число. Если ввести "a/0=о", то и 1/0=о, и 2/0=о, отсюда 0*о = 1 и 0*о = 2 и вобще любому числу. Как пользоваться выражениями, если они равны не одному числу, а многим?

Но никто не запрещает решать уравнение x*0=a!

2. "БУДЕТ ТОЛЬКО ПРИБЛИЖАТЬСЯ к 2, но РОВНО 2 НЕ БУДЕТ НИКОГДА" - именно это и называется пределом - то число, к которому последовательность будет приближаться сколь угодно близко, но может не достигнуть никогда. Если бы всегда достигала - и вся теория пределов и матанализ был бы не нужен, обошлись бы обычной арифметикой.

Answer 2

Это не парадоксы, а понятия из теории ПРЕДЕЛОВ.
1) на число 0 делить невозможно. А на переменную величину, которая СТРЕМИТСЯ к 0, можно. Результат деления ненулевого числа на переменную величину, стремящуюся к 0, имет по определению "бесконечный предел". Разъяснение посмотрите в любой книжке по анализу.

2) аналогично: конечная сумма приближенно равна 2, и чем больше слагаемых возьмете, тем точне равенство. Вот это и означает, что сумма бесконечного ряда равна 2. Запись 1+ 1/2/4/8+. = 2 условна.

Answer 3

Дорогой друг, почитай определение суммы ряда – и все станет на свои места. Это про второе.

Первое – это ваще третий класс. Пусть какой-нить пятиклассник ответит. )

Answer 4

1) насколько я помню, в алгебре нет деления. Зато в поле вещественных чисел есть операции умножения и взятия обратного. Если предположить, что у нуля есть обратный, b, то получаем:
1 = b * 0 = b * (0 + 0) = b * 0 + b * 0 = 1 + 1 = 2
Как видите, противоречие налицо.

2) Как известно, есть аксиома вещественных чисел (аксиома непрерывности, что ли? ) : если вещественное число a меньше числа b, то между ними существует третье число c такое, что a c b. Если вам удастся найти такое число с между суммой Вашего ряда и двойкой, то можете написать две волнистые линии.

P. S. я тут, кажется, собразил: Вы рассматриваете запись
1 + 0, 5 + 0, 25 + 0, 125 + .
как некий _процесс_ получения числа. А на самом деле это - запись _результата_, т. е. самого этого числа. Процессом получения числа в данном случае будет образование частичных сумм S0 = 1; S1 = 1 + 0, 5; S2 = 1 + 0, 5 + 0, 25 и т. п. и переход к пределу.