количество состояний кубика рубика

Question

у кубика 2*2 8 разных углов. Способов разместить 8 предметов на 8 местах, 8! = 4032
но если поворачивать кубик справа налево, есть 3 изменяющих положения и четвертое возвращает обратно. На эти 3 варианта есть 3 варианта изменить кубик поворотом сверху вниз. Итого 9. Блондинка запуталась. Но если так рассуждать, тогда вариантов кубика 3*3 будет 27^2 = 729. А пишут, какое-то не-ибическое число. И что такое, невозможные положения кубика?

Answer 1

считаем для 2*2: по вашему получается 8! способов поставить кубики на углы, и еще умножить на 3^8 - каждый угол можно поставить 3-м способами. Итого -
8! * 3^8=264539520

но мы тут посчитали как разные состояния те, которые по сути - одинаковые, те, которые получаются при повороте кубика целиком. надо поделить на 8*3.

а еще мы посчитали невозможные повороты: у кубика как не крути нельзя получить положение, в котором все стоят правильно, а один угол - повернут. Еще делим на 3.

с невозможными положениями - тут как в игре в 15, любой поворот сохраняет некие свойства типа четности перестановки, например, в 15 никакие ходы не могут перевести 1-2-3-. -14-15 в 1-2-3-. -15-14.

Так и у кубика нельзя повернуть только один угол или перевернуть только один средний кубик, как не крути, а они поворачиваются только парами.