Существование нуля принято за аксиому или у него есть доказательство?

Question

Здравствуйте. Я знаю, что ноль очень долго не хотели принимать в математике. Сначала его использовали как символ которым удобно обозначать десятки, сотни и т. д, а только потом приняли как целое число и начали использовать сам по себе. Но многие века до этого математики просто отказывались воспринимать концепцию счёта ничего.

Мне стало интересно. Ноль приняли как аксиому или у существования нуля есть доказательство?

Answer 1

Скоре всего, вопрос касается того, какую роль 0 играет в теории натуральных чисел. В западной традиции существование нуля является одной из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Поэтому простой ответ — да, существование нуля требуется аксиоматически. Если мы говорим об общей алгебре, то тут нужно отделять два важных свойства, которые «определяют» нуль:

С одной стороны, нуль нейтрален по сложению, то есть для любого x имем 0 + x = x + 0 = x

С другой стороны, нуль, как говорят, является поглощающим элементом по умножению, то есть для любого x имем 0*x = x*0 = 0

В общей алгебре определением нуля является первое условие и оно вводится как аксиома для моноидов, групп, колец, полей и других базовых алгебраических структур. Иными словами, чаще всего мы требуем существование нейтрального по сложению элемента аксиоматически. Иногда, однако, мы можем предъявить его конструктивно или можем обойтись вобще без него (см. полугруппа) . А вот второе свойство нуля в кольцах и полях является теоремой, которая доказывается из базовых свойств операций. При этом, кстати, в общем случае в произвольном кольце уравнение x*y = 0 вовсе необязательно означает, что либо x, либо y равны нулю (см. делители нуля) . Поэтому с точки зрения умножения нуль может порождать патологические вещи, если мы работаем в экзотическом кольце. Кстати говоря, если в некоторой алгебраической структуре существует нуль, то он обязательно единственен (а вот это уже теорема) . Аксиоматически мы требуем, чтобы существовал хотя бы один элемент со свойствами нуля, а вот его единственность — доказывается

Answer 2

Ноль в математике принимается как фундаментальное понятие, аналогично другим числам. В современной математике существование нуля не требует доказательства, поскольку оно определяется в рамках аксиоматической системы, которая лежит в основе чисел и арифметики. Ноль используется как базовое понятие, на котором строятся другие свойства чисел и операции с ними. В различных разделах математики, таких как теория множеств, алгебра и математический анализ, ноль играет центральную роль и его свойства исходят из принятых аксиом и определений.