Помогите с разложением функции

Question

Функция должна отвечать следующему условию: f (x+y) =f (x) *f (y)
Не могу понять, как доказать, что если слагаемых в аргументе функции будет n (одних и тех же) , то функция будет в степене n.
Т. е. помогите доказать следующе:
f (m+m+. +m) =f (m*n) = f (m) ^n
Если не ошибаюсь, тут через индукцию док-во должно быть

Answer 1

Для доказательства вашего утверждения о том, что f (m*n) = f (m) ^n, можно воспользоваться методом математической индукции. Этот метод позволяет доказать утверждение для всех натуральных чисел n.
 
База индукции: Для n = 1 утверждение f (m1) = f (m) ^1 очевидно верно, так как f (m1) = f (m) и f (m) ^1 = f (m) .
 
Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть f (m*k) = f (m) ^k.
 
Шаг индукции: Докажем, что утверждение также верно для k + 1.
 
f (m* (k = f (m*k + m)
 
Теперь воспользуемся свойством, данном в вашем исходном условии: f (x + y) = f (x) * f (y) .
 
f (mk + m) = f (mk) * f (m)
 
Теперь используем предположение индукции:
 
f (m*k) = f (m) ^k
 
Таким образом:
 
f (m*k + m) = f (m) ^k * f (m)
 
Используя свойство, что умножение степеней одного и того же числа равносильно сложению показателей степени:
 
f (m*k + m) = f (m) ^ (k
 
Таким образом, мы доказали утверждение для k + 1, при условии, что оно верно для k.
 
С учетом базы индукции и шага индукции, мы доказали, что ваше утверждение f (m*n) = f (m) ^n верно для всех натуральных чисел n.