Докажите что число кратно 7

Question

Докажите что трехзначное число сумма цифр которого кратна 7 и последние две цифры одинаковые, то это число делится на 7

Answer 1

Давайте рассмотрим это утверждение и докажем его.
 
Пусть наше трехзначное число имет следующий вид: XYZ, где X, Y и Z - цифры.
 
Сумма цифр трехзначного числа: X + Y + Z.
Последние две цифры одинаковые, что означает Y = Z.
Теперь мы можем выразить сумму цифр как: X + Y + Y, или X + 2Y.
 
Чтобы доказать, что это число кратно 7, давайте проверим, что X + 2Y делится на 7 без остатка.
 
Если X + 2Y делится на 7 без остатка, то X + 2Y = 7k, где k - целое число.
 
Теперь нам нужно показать, что X + 2Y делится на 7.
 
Допустим, X + 2Y не делится на 7. Тогда остаток от деления будет отличным от нуля.
 
Мы можем записать это как: X + 2Y = 7k + r, где r - остаток от деления, и 0 r 7.
 
Теперь мы видим, что X + 2Y = 7k + r. Если r 0, то это означает, что X + 2Y не делится на 7 без остатка.
 
Но у нас есть ограничение на сумму цифр, она должна быть кратной 7. Это означает, что r не может быть больше 0, иначе сумма не будет кратной 7.
 
Таким образом, мы приходим к выводу, что X + 2Y не может иметь остаток r, и, следовательно, должно делиться на 7 без остатка. То есть, трехзначное число с суммой цифр, кратной 7, и последними двуми одинаковыми цифрами, действительно делится на 7.