Доказать методом математической индукции

Answer 1

Задачу можно разбить на три основных шага при использовании метода математической индукции:
 
1) *База индукции*: Проверим истинность утверждения для n = 1. Левая часть будет равна 2 (первый член последовательности) , а правая часть равна 1^3 + 1^2 = 2. Таким образом, для n = 1 утверждение истинно.
 
2) *Шаг индукции (предположение индукции) *: Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть:
 
 2 + 10 + 24 + . + 3k^2 - k = k^3 + k^2 (1)
 
3) *Шаг индукции (доказательство) *: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1. Для этого мы должны проверить, что
 
 2 + 10 + 24 + . + 3k^2 - k + 3 (k + 1) ^2 - (k + 1) = (k + 1) ^3 + (k + 1) ^2 (2)
 
 Подставляем равенство (1) в левую часть равенства (2) и получаем:
 
 k^3 + k^2 + 3 (k + 1) ^2 - (k + 1) = (k + 1) ^3 + (k + 1) ^2
 
 Упрощаем это равенство:
 
 k^3 + k^2 + 3k^2 + 6k + 3 - k - 1 = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (k^2 + 2k + 1)
 
 k^3 + 4k^2 + 5k + 2 = k^3 + 4k^2 + 5k + 2
 
 Таким образом, утверждение верно для n = k + 1, если оно верно для n = k.
 
Следовательно, утверждение верно для всех натуральных n по принципу математической индукции.

Answer 2

Шаг 1: Проверка базового случая При n=1, левая сторона равна 2, а правая сторона равна 1=2. Базовый случай верен. Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для n=k: 20+24+. +3k^2-k = k^3+k^2 Шаг 3: Доказательство индукции Докажем, что утверждение верно для n=k: 20+24+. +3k^2-k+3 (k^2- (k = (k^3+ (k^2 Раскроем скобки: 20+24+. +3k^2-k+3k^2+6k+3- (k = k^3+3k^2+3k+k^2+2k Упрощаем выражение: 20+24+. +3k^2-k+3k^2+6k+3-k-1 = k^3+3k^2+3k+k^2+2k+k 20+24+. +3k^2+3k^2+3k+2=k^3+4k^2+6k+2 Подставляем предположение индукции: k^3+k^2+3k+2=k^3+4k^2+6k+2 Упрощаем выражение: k^2-3k=0 k (k-3) =0 Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для k, и тем самым доказали методом математической индукции.