найти кординаты точки взятой на двухполосном гиперболоиде

Question

Как найти кординаты точки взятой на двухполосном гиперболоиде? известны кординаты двух фокусов: A (20. 20. 0) , B (20. -20, 0) .

Answer 1

Для нахождения кординат точки на двухполосном гиперболоиде с известными кординатами фокусов A и B, необходимо использовать уравнение гиперболоида:
 
 (x^2 + y^2) / a^2 - z^2 / c^2 = 1
 
где a и c - полуоси гиперболоида.
 
Сначала необходимо найти параметры a и c. Заметим, что фокусы A и B лежат на оси z, а также что расстояние между фокусами равно 40, то есть 2a = 40, откуда a = 20.
 
Также, по определению двухполосного гиперболоида, c = sqrt (a^2 + b^2) , где b - расстояние между вершинами двух полос. В нашем случае, вершины лежат на оси x и имеют кординаты (0, b, 0) и (0, -b, 0) . Расстояние между этими точками равно 40, поэтому b = 20*sqrt (2) .
 
Теперь у нас есть значения a и c. Для того, чтобы найти кординаты точки на гиперболоиде, можно использовать известные кординаты фокусов A и B. Пусть дана точка C с неизвестными кординатами (x, y, z) . Тогда расстояние от точки C до фокусов A и B должно быть одинаковым, то есть:
 
sqrt (x-20) ^2 + y^2 + z^2) = sqrt (x-20) ^2 + y^2 + z^2)
 
Раскрывая скобки, получим:
 
 (x^2 - 40x + 400 + y^2 + z^2) = (x^2 - 40x + 400 + y^2 + z^2)
 
Упрощая, получим:
 
x^2 - 40x + 400 = 0
 
Это уравнение является квадратным, и его решение дает кординату x точки C. Дале, подставля найденное значение x в уравнение гиперболоида, можно найти оставшиеся кординаты точки C.
 
Таким образом, решив квадратное уравнение x^2 - 40x + 400 = 0, можно найти кординату x точки C, а затем, подставив е в уравнение гиперболоида, найти оставшиеся кординаты y и z.