Как доказать, что линейное отображение переводит базис в базис? И правда ли это?

Answer 1

Ну смотир линейное отображение производиться на оси кординат парельно исходным секторам. Если изначальная структура обращается в ноль, то и отображённая также будет сведена к нулю. Сответственно так и с базисами по доказательству Лаграндж-Лионелля

Answer 2

Действительно, линейное отображение переводит базис в базис.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим линейное отображение $f: V \to W$ между векторными пространствами $V$ и $W$ и базисы ${v_1, \dots, v_n}$ и ${w_1, \dots, w_m}$ этих пространств сответственно.

Поскольку каждый вектор $v_i$ представим в виде линейной комбинации базисных векторов ${v_1, \dots, v_n}$, то любой вектор $v \in V$ можно представить в виде $v = \sum_{i=1}^n a_i v_i$, где $a_i$ - скаляры.

Тогда, применя линейность отображения $f$ и свойства линейности скалярного произведения, получим:

$f (v) = f\left (\sum_{i=1}^n a_i v_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i f (v_i) $

Таким образом, вектор $f (v) $ представим в виде линейной комбинации базисных векторов ${w_1, \dots, w_m}$:

$f (v) = \sum_{i=1}^m b_i w_i$

где $b_i$ - некоторые скаляры. Значит, любой вектор $f (v) $ можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов ${w_1, \dots, w_m}$.

Таким образом, каждый вектор из образа пространства $V$ имет представление в виде линейной комбинации базисных векторов ${w_1, \dots, w_m}$. Значит, ${f (v_1) , \dots, f (v_n) }$ образуют базис в образе отображения $f$.

Таким образом, линейное отображение действительно переводит базис в базис.