Question

существует ли треугольник со сторонами a, b, c, в котором медиана к стороне c равна полусумме сторон a и b ?

Answer 1

Длина медианы mc, проведенной к стороне с, выражается через стороны треугольника следующей формулой: mc= (1/2) * (2*a^2+2*b^2-c^2) . если mc= (a+b) /2, то после подстановки получается:
 (a+b) /2= (1/2) * (2*a^2+2*b^2-c^2) ,
 (a+b) = (2*a^2+2*b^2-c^2) ,
a^2+2*a*b+b^2=2*a^2+2*b^2-c^2,
c^2= (a-b) ^2,
c=a-b,
или a=b+c, т. е сумма двух сторон треугольника равна третьей стороне. а в треугольнике сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны. Значит таких треугольников не существует.

Answer 2

Нет. Медиана короче полусуммы сторон.
Доказательство.
Соединим основание медианы с серединами сторон a и b,
Получится параллелограмм со сторонами a/2 и b/2.
Медиана m данного треугольника является диагональю
параллелограмма, и она делит параллелограмм на два
треугольника. Рассмотрим один из них, стороны его равны
a/2, b/2 и m. Как известно, в любом треугольнике каждая
сторона МЕНЬШЕ суммы двух других.
Что и требовалось доказать.